Solving a Rectilinear Motion

$\mathbf{A}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{c}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{h}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{i}\mathbf{z}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{t}\mathbf{a}\mathbf{l}\mathbf{l}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{d}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{g}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{o}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{l}\mathbf{a}\mathbf{w}\mathbf{ }\mathbf{s}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}{\mathbf{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{t}\mathbf{+}\mathbf{1.}\mathbf{ }$

$\mathbf{A}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{c}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{c}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{v}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{g}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{?}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{i}\mathbf{l}\mathbf{l}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{c}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{ }$

$\mathbf{c}\mathbf{o}\mathbf{m}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{o}\mathbf{ }\mathbf{r}\mathbf{e}\mathbf{s}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{n}\mathbf{d}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{c}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{m}\mathbf{e}\mathbf{?}$

$\mathbf{S}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{p}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{G}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{d}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{o}\mathbf{f}\mathbf{ }\mathbf{s}\mathbf{=}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}{\mathbf{t}}^{\mathbf{3}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{t}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{o}\mathbf{ }\mathbf{g}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{c}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{y}$

$$\begin{gathered} \text{ \\ v=t2-t-12 \\ } \end{gathered}$$

$\mathbf{S}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{p}\mathbf{ }\mathbf{2}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{c}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{p}\mathbf{a}\mathbf{r}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{c}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{m}\mathbf{o}\mathbf{v}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{g}\mathbf{ }\mathbf{w}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{1}\mathbf{?}$

$$\begin{gathered} \text{ \\ v=(1)2-(1)-12} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ v=-12 \\ } \end{gathered}$$

$\mathbf{S}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{p}\mathbf{ }\mathbf{3}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{G}\mathbf{e}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{f}\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{t}\mathbf{o}\mathbf{r}\mathbf{ }\mathbf{o}\mathbf{f}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{e}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{o}\mathbf{c}\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{y}\mathbf{ }\mathbf{e}\mathbf{q}\mathbf{u}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{,}$

$$\begin{gathered} \text{ \\ When will the particle come to rest?} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ t2-t-12=0} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ (t-4)(t+3)=0} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ t=4 \\ } \end{gathered}$$

$\mathbf{S}\mathbf{t}\mathbf{e}\mathbf{p}\mathbf{ }\mathbf{4}\mathbf{:} \mathbf{W}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{i}\mathbf{t}\mathbf{s}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{c}\mathbf{c}\mathbf{e}\mathbf{l}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{o}\mathbf{n}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{h}\mathbf{a}\mathbf{t}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{i}\mathbf{m}\mathbf{e}\mathbf{?}$

$$\begin{gathered} \text{ \\ Get the derivative of velocity equation to get the acceleration \\ } \end{gathered}$$

${\mathrm{t}}^2-\mathrm{t}-12$

$$\begin{gathered} \text{ \\ a=2t-1 \\ } \end{gathered}$$

$\mathrm{when} \mathrm{t}=4$

$$\begin{gathered} \text{ \\ a=2(4)-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{ \\ a=7 \\ } \end{gathered}$$

$\mathbf{F}\mathbf{i}\mathbf{n}\mathbf{a}\mathbf{l}\mathbf{ }\mathbf{A}\mathbf{n}\mathbf{s}\mathbf{w}\mathbf{e}\mathbf{r}\mathbf{:}\mathbf{ }\mathbf{v}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{12}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{t}\mathbf{=}\mathbf{4}\mathbf{,}\mathbf{ }\mathbf{a}\mathbf{=}\mathbf{7}$